1 引言

小学数学教育的关键是培养学生的计算能力、思维能力以及在生活中运用数学知识解决问题的能力^[1]。“双减”背景下，培养小学生计算能力尤为重要，提高小学生计算能力为其以后的学习奠定坚实基础。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确要求“理解算法和算理的关系”^[2]，要让学生知道怎么计算，更要让学生知道为什么这样计算。在小学高年段，分数除法是计算教学的难点之一。小学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段发展的关键时期，在此过程中，数形结合是帮助学生理解“为什么这样计算”（即算理）的重要方法。

然而，在实际教学中，学生在分数除法计算方面存在诸多问题。例如：基础知识不扎实，对倒数概念、约分方法掌握不牢；书写习惯不规范，数字抄错或漏写；算理理解不透彻，只会机械套用“除以一个数等于乘它的倒数”而不知其所以然；算法策略选择不灵活，思维单一^[3]。这些问题的根源在于学生对算理的认知水平较低。

基于此，本文以小学高年段学生学习分数除法为例，利用“数形结合”方式进行算理教学，通过前后测对比，探究算理认知水平与计算能力之间的关系，并结合单元整体教学设计与具体策略，为提高分数除法计算能力提供实证依据与实践建议。

2 研究设计

2.1 研究对象与样本

本研究在某小学六年级进行。前测在未学习分数除法单元之前进行，涉及2个班级，共发放88份有效测试卷；后测在完成分数除法单元（采用数形结合教学）之后进行，涉及全部5个班级，共发放233份有效测试卷。

2.2 基于数形结合的课堂教学

在课堂教学中，通过分纸、折一折、画一画、涂一涂等活动，借助图形表征，引导学生掌握算法的同时理解分数除法的算理。例如：教学“分数除以整数”时，让学生用长方形纸表示“”，通过涂色和折叠，直观看到“平均分成2份，每份是”，从而理解“除以2就是乘；教学“一个数除以分数”时，借助线段图理解“为什么除以等于乘”。

2.3 测评工具设计

编写《分数除法》前测题和后测题，分别调查学生对算理的认知水平及计算能力。

前测题包含两大题，见图1(a)。第一大题考查倒数的掌握情况；第二大题设计两个算式（分数乘分数和分数除以整数），要求学生通过“写一写、画一画”的方式表达算理，以此反映学生对分数乘法与分数除法算理的勾连情况，判断学生能否通过图像或说理感知“除以一个数等于乘这个数的倒数”。

后测题设计三大题，见图1(b)。第一题：计算并自主画出“分数除以整数”的图示，考查学生在无情境情况下的算理表达能力。第二题：在预设表格中涂出“分数除以分数”的算式（含两小题，区分是否可直接约分），考查学生在被动情境下对算理的理解。第三题：8个不同分数除法算式（覆盖分数÷整数、整数÷分数、分数÷分数、分数÷带分数、分数÷小数），考查学生快速计算能力及算理与计算的关联。

图1 （a）《分数除法》前测题;(b) 《分数除法》后测题

2.4 算理认知水平评价标准

对于需要画一画、涂一涂的试题（前测题第二大题及后测题第一、二大题），采用清晰、模糊、不懂三个等级评定。清晰：能够正确计算并清晰、完整地画出或涂出算理（图形表达正确，能反映“包含除”或“等分除”的意义）。模糊：计算正确，但图形表达不完整、有部分错误，或仅能模仿涂色而不理解意义。不懂：计算错误且无法画出、涂出正确的图形表达。

3 结果分析

本研究使用前测题统计了学生在未学习分数除法前对乘除法算理的认知程度，使用后测题统计了学生在学习分数除法后对分数除法原理的认知程度，并基于学生对分数除法的认知程度统计了计算各类分数题（后测题第三大题）的正确率。

3.1 前测结果：算理认知起点较低

前测显示，在未学习分数除法之前，仅有约23%的学生能够正确计算分数乘/除法算式并部分表达算理（其中14.8%能清晰利用图像表达，7.9%能清晰说理），其余约77%的学生无法正确表达简单的分数乘除法算理。同时，前测中还发现：约9%的学生在求倒数（尤其是带分数、小数的倒数）时存在困难；超过八成学生未能基于分数乘法算理自主迁移至分数除法。

3.2 后测结果：算理认知水平提升但仍不均衡

经过数形结合教学后，后测结果显示（基于第一题“分数除以整数”的画图任务）：算理认知“清晰”的学生占 54.5%（会计算且能自主画图）；算理认知“模糊”的学生占 37.3%（会计算但不会画图）；算理认知“不懂”的学生占 8.2%（不会计算也不会画图）。

若考虑第二题“分数除以分数”的涂色任务（有情境支持），能正确计算并涂色（即清晰）的学生比例为 51.5%，会计算但涂色错误（模糊）的比例为35.2%，不会计算且无法涂色（不懂）的比例为 13.3%。为保持与后测第一题（无情境自主画图）的一致性，下文分析以第一题数据为主。

3.3 算理认知水平与计算正确率的关系

基于学生对分数除法的认知程度，统计后测第三大题（8个不同类型除法算式）的平均正确率，结果如表1所示。

表1 不同算理认知水平学生的计算正确率

数据表明：算理认知水平与计算能力显著正相关。清晰组的正确率（91.6%）远高于模糊组（79.1%）和不懂组（74.6%）。此外，不同运算类型之间也存在差异。学生对于“分数除以整数”和“分数除以分数”掌握较好，但对于“整数除以分数”和“分数除以小数”的正确率偏低，这与这些类型算理的直观模型（如包含除）理解不足有关。

4 讨论

4.1 数形结合对算理理解的关系

本研究采用折纸、画图、涂色等活动，将抽象的分数除法算理直观化。后测中能独立画图或涂色的学生比例从学前约23%提升至约54%，说明数形结合确实有助于学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。这一发现与当前小学数学教学中强调几何直观的理念一致^[4-5]。

4.2 算理认知水平对计算能力的决定性影响

数据显示，算理清晰组的正确率（91.6%）显著高于模糊组（79.1%）和不懂组（74.6%）。这一结果有力地支持了“数形结合提升算理认知水平，进而提高计算能力”的核心假设。单纯机械练习而不理解算理，学生容易在遇到变式题或复杂运算时出错。最新研究也表明，算理理解是运算能力形成的深层基础^[6]。值得注意的是，部分学生虽能算对但不会画图（后测第一题中“会计算、不会画”占37.3%），这类学生属于“模糊”组，他们的计算正确率（79.1%）也明显低于清晰组，说明缺乏算理支撑的计算可能不稳定，尤其是在整数除以分数、分数除以小数等变式情境中容易出错。

4.3 综合策略的必要性

尽管数形结合显著提升了算理理解，但后测中仍有约8%的学生算理认知“不懂”，且“模糊+不懂”合计约46%。这说明单一的数形结合策略不足以解决所有学生的问题，还需加强以下辅助措施：

l 针对整数除以分数、分数除以小数：设计专门的包含除模型活动（如“3里面有几个”）。

l 针对带分数、小数的倒数：前测已发现这些是难点，应在单元教学中穿插滚动练习。

l 结构化教学：从“分数除以整数”到“整数除以分数”再到“分数除以分数”，引导学生发现“除以一个数等于乘它的倒数”这一统一模型，体会运算一致性。

4.4 逻辑框架与教学启示

综合前后测分析，可以构建以下逻辑框架：数形结合教学 → 提升算理认知（能画图表达） → 提高计算正确率（尤其是变式类型）。同时，薄弱类型（整数÷分数、分数÷小数）需要额外强化。这一框架提示教师：在教学中不仅要关注学生是否会算，更要关注其是否能“画”出算理。后者是前者的深层基础。

5 结论与建议

5.1 研究结论

通过前测-后测实证分析，本研究得出以下结论：

(1) 采用数形结合教学后，学生对分数除法算理的认知水平较学前有显著提高（能独立画图表达的比例从约23%提高到约54%）。

(2) 算理认知水平与计算能力呈显著正相关：算理清晰的学生计算正确率（91.6%）明显高于算理模糊（79.1%）和不懂（74.6%）的学生。

(3) 不同类型除法算式的掌握存在差异，其中“整数除以分数”和“分数除以小数”是薄弱环节，与算理模型构建不充分有关。

(4) 仍有相当比例的学生（模糊+不懂约46%）未能清晰表达算理，需要结合更多教学策略加以改善。

5.2 教学建议

基于本研究结果，提出以下提高小学高年段分数除法计算能力的综合建议：

l 以数形结合为突破口，夯实算理基础：在分数除法教学中，充分利用图形、实物操作、线段图等直观手段，并且要求每个学生独立完成“先画图、后计算”，避免仅教师演示或部分优生参与。

l 重点突破薄弱类型：设计“整数除以分数”和“分数除以小数”的专项活动，借助包含除模型（如“2÷ ”表示“2里面有几个 ”）和数轴，帮助学生建立直观理解。

l 注重单元整体设计，建立知识联系：教师应梳理整数除法、小数除法、分数乘除法之间的内在一致性，引导学生发现“除以一个数等于乘它的倒数”这一统一法则。

l 加强前测中暴露的旧知障碍：在教学中穿插“求带分数、小数的倒数”的针对性练习，防止旧问题影响新知识迁移。

l 规范书写习惯，减少非智力因素失分：从第一节课起要求学生使用草稿纸、整齐列式；教师板书示范。

l 分层练习与错题分析：针对算理模糊和不懂的学生，通过访谈、画图诊断其思维障碍，进行个别化辅导。

参考文献：

[1] 曾雪丽. 夯实基础高屋建瓴——培养小学高年级学生计算能力的策略研究[J]. 新课程导学, 2018, (13): 64+89.

[2] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准(2022年版)[S]. 北京: 北京师范大学出版社, 2022.

[3] 郑多. 深度学习视域下小学数学高段算理教学策略研究[D]. 重庆: 西南大学, 2023.

[4] 李瑞玉. 小学数学教学中学生运算能力的培养[J]. 亚太教育, 2024, (07): 129-131. DOI:10.16550/j.cnki.issn.2095-9214.2024.07.040.

[5] 王丽君. 小学数学教学中加强学生运算能力策略探究[J]. 小学生(上旬刊), 2024, (05): 121-123.

[6] 陈伟. 小学数学教学中提高学生的计算能力探析[J]. 数学学习与研究, 2023, (09): 86-88.