一、GGB辅助初中图形教学的重要意义

（一）GGB能够使得抽象数学概念形象化

图形的知识具有一定的抽象性，这就要求学生具有一定的抽象性思维，以实物、模型为依托，积极建立科学的图式。但是在无实物时未能将其本质特点体现出来，学生难以掌握这部分知识，这时候需要借助GeoGebra模拟实物，将事物的本质因素体现出来，便于学生主动正确地构建图式。GeoGebra软件在绘图区展示数学图形的同时也能在代数区展示相应的数学关系式和具体数值，学生能够在数与形结合的视图下，构建图式。

（二）GGB能够帮助突破图形旋转的教学难点

根据在教学难点分析，发现最大的困难就是让学生对图形运动变化的过程有深入的理解，而GeoGebra可以从以下几个方面突破难点。首先，GeoGebra的过程性实现功能能够展现图形运动的过程，弥补学生空间想象力不足的问题，从而让学生能够结合直观发展自己的空间观念和直观想象能力。GeoGebra可以将图形运动的构成展现出来，并且能够显示图形运动的轨迹，让学生在头脑中浮现图形的运动。并且运动变化的环境下的观察，能够加深学生对变换的理解，意会其中的转化思想。其次，GeoGebra的数形结合功能能够帮助学生从数的角度去加深对变换的理解，从而让学生在数据的帮助下提升自己的几何直观能力。数据显示一般都是为了从事实角度证明结论的正确性，而对于几何直观能力较弱的学生，数据显示则是观察的好帮手。最后，GeoGebra 拥有资源共享平台，且操作方便，使得 GeoGebra 广泛运用于课堂教学以及学生的自我探究活动。

二、GeoGebra在图形旋转中的应用分析   

在初中《图形的旋转》学习过程中，掌握旋转的性质是十分重要的，这也是图形旋转中的难点所在。

旋转三要素→全等关系→距离关系→夹角关系。这个知识逻辑线是探究中心，是探究的目的所在。

【设计意图】：旋转性质的知识点及其逻辑关系是对旋转过程的一种描述，因此，梳理旋转性质的知识逻辑线有助于学生从运动变化的角度去理解旋转性质。

第一，创设图形旋转的环境。利用GeoGebra 设计了如图1所示的三角形旋转图。图中第1部分用于展示三角形的旋转过程；第2部分用滑动条控制三角形的旋转，实现三角形的旋转运动。这了两部分设计实现了图形的旋转，能够让学生观察到旋转动画。并且能够通过滑动条手动操控，为后面旋转性质的探索提供方便。

图1

【设计意图】：让学生的探索始终置于图形旋转的环境之下，可以让学生清晰地知道自己研究的是旋转运动，而不是两个有特殊位置关系的图形，这是学生能否从旋转运动变化的角度去理解旋转性质的先决条件。

第二，在图形旋转的环境中添加必要的辅助线或者符号。这里只需要从知识逻辑线出发，思考每个知识点的观察→猜想→探究→验证这个过程中探究的需要就可以了。首先，对于旋转三要素这个知识点。对于旋转角度和旋转方向的探索，利用上一步设计的三角形旋转图已经能够实现，但对于旋转中心的探索，则需要另外设置旋转中心，进行对比发现，因此，需要增加一个旋转中心，在操纵三角形旋转时，会发现旋转的位置有所不同，通过这种对比观察，学生能够很容易的发现还有旋转中心这个要素。其次，对于旋转前、后的图形全等这个知识点，在教学过程中只需要改变三角形形状，保持三角形旋转，发现，无论是什么样的图形，旋转运动都不能改变其形状和大小就可以了，因此不需要添加辅助线索。最后，由于距离关系和夹角关系这两个知识点的发现可以不分先后，因此可以同时出现线索，此处需要显示对应点与旋转中心的连线，以及表示出对应点与旋转中心所连线段的夹角，帮助学生观察。同时，由于图形的旋转的轨迹是圆弧，可以在线段和夹角显示之前显示出图形的运动轨迹，帮助学生深入理解。

【设计意图】：初中阶段，大部分学生的想象力不足以支撑学生去想象旋转的运动轨迹，从而也就难以发现这其中的特殊关系，因此，需要增添一些辅助线索，帮助学生从直观上去感知。

第三，在图形旋转的环境中根据验证需求添加数据显示。设计时，为了避免过度强调测量，导致学生忽视逻辑推理，需要从逻辑推理的角度出发，恰当的利用事实证明。首先，对于旋转三要素这个知识点，只是对旋转的条件进行探索，不需要数据验证。其次，对于旋转前、后的图形全等这个知识点，需要对图形的形状和大小进行验证。由于选择的是三角形旋转，只需要利用三角形的边边边的判定定理，将两个三角形的三边的数据显示出来。最后，对于距离关系和夹角关系这两个知识点，在验证阶段需要显示对应点与旋转中心的连线数据，以及对应点与旋转中心所连线段的夹角角度。具体如图2所示。

图2 图形旋转夹角

【设计意图】：旋转运动下的数据验证不仅是为了培养学生实事求是的科学研究精神，而且能够让学生能够从事实的角度去理解旋转性质运动变化的本质。

第四，根据观察→猜想→探究→验证这个过程中的探究和验证阶段用步骤控制显示。首先，对于旋转三要素这个知识点，在探究阶段添加了不同旋转中心的旋转过程，需要用布尔变量控制显示。其次，对于旋转前、后的图形全等这个知识点，在探究阶段未添加线索，在验证阶段添加了三角形三边的数据显示，因此需要控制显示。最后，对于距离关系和夹角关系这两个知识点，在探究阶段添加了图形的运动轨迹、对应点与旋转中心的连线以及所连线段的夹角，在验证阶段添加了对应点与旋转中心的连线数据以及所连线段的夹角角度。这四个部分，需要依次控制显示。

【设计意图】：为了让学生体验旋转性质知识的生成过程，对学生的思维进行训练，设计成果的展示应当是由简到繁的，因此需要控制线索和数据的展示时间。

经历设计的过程后，得到的如图6所示的最终设计成果。从图中可以看到，整个设计包含四个部分：步骤控制、数据显示、图像显示和动画控制。步骤控制用于控制图形和数据的显示，让探究层层递进的进行，给不同层次的学生都留有充足的想象空间；数据显示用于教学过程中的验证环节，用于验证结论的正确性；图形显示提供给学生直观的观察材料，让学生能够观察到图形旋转，并能够观察到这其中的位置关系和数量关系；动画控制用于控制三角形的旋转，使得图形动起来，让学生能够始终保持在图形旋转的环境下进行观察。

图3 图形旋转设计成果

三、GeoGebra在图形旋转中设计的教学反思

GeoGebra 的数形结合功能让学生在观察图形的同时，观察到数据变化，从而探究和验证结论。GeoGebra 里面可以使用简单的文本函数进行相关的数据显示，图形旋转的观察非常需要这一点。例如，在探究如对应点到旋转中心的距离相等这个知识点就是在旋转过程中发现，因为图形做的是旋转运动，旋转运动就是图形绕着定点做圆周运动，而对应点到旋转中心的距离相等这个知识点相当于对旋转轨迹的一种描述（圆弧）。因此，只有让学生观察到图形是如何旋转的，才能从旋转变换运动的角度去发现和理解知识。

GeoGebra 的过程性实现功能，能够实现图形的各种运动，包括要研究的平移、轴对称和旋转，使得学生能够较为容易地抓住变换的本质。GeoGebra 里面可以通过函数来对图形进行平移、轴对称、旋转等操作，并创设滑竿变量来控制图形的运动。这样就能够将图形运动的过程展示出来，并对运动过程进行控制，方便教学的时候对图形运动过程的观察。学生在图形的运动过程中观察和得出结论，就是让学生经历知识的发现过程，获得自助探究和学习的能力。

四、结语

基于让学生从运动变化的角度探索知识的角度，本文利用 GeoGebra 创设图形运动，置于教学方式中的观察环节，启发学生从观察中获得猜想，在猜想中去主动探究，验证探究结论，层层递进，让学生感受图形的旋转，掌握旋转的三要素，在变化过程中体会图形旋转，有利于培养学生的空间想象能力，培养学生的核心素养。

参考文献

[1]俞如燕.新课标视野下基于GGB软件的初中函数教学创新[J].新课程导学,2022(18):81-83.

[2]曾献峰.基于GGB的探究，发现，证明与推广——记一道圆锥曲线试题的命制过程[J].数学之友,2022,36(11):77-81.